Question

【題目】設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對任意的恒成立，且當時，.

（1）求證：是以2為周期的函數(shù)（不需要證明2是的最小正周期）；

（2）對于整數(shù)，當時，求函數(shù)的解析式；

（3）對于整數(shù)，記在有兩個不等的實數(shù)根}，求集合.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）利用和可得結(jié)論；
（2）先求出時，，設(shè)，則，根據(jù)是以2為周期的函數(shù)，即可求解．
（3）將方程轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)根的分布求的取值集合．

解：（1）因為
所以：是以2為周期的函數(shù)；
（2）∵當時，，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)
∴當時，，
∴時，，
∵是以2為周期的函數(shù)，即，
設(shè)，則，
，
即，
（3）當，且時，方程化簡為

，
設(shè)，使方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，

則，
解得，
當時，
∴集合.