Question

函數(shù)f(x)=

1

3

x3-sinx，x∈[-1，1]，則其導函數(shù)f′（x）是（　�。�

A．僅有最大值的奇函數(shù)

B．既有最大值又有最小值的奇函數(shù)

C．僅有最小值的偶函數(shù)

D．既有最大值又有最小值的偶函數(shù)

Answer 1

分析：f′（x）=x²-cosx，利用奇偶函數(shù)的定義可判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導數(shù)可求得導函數(shù)f′（x）的最值．

解答：解：f′（x）=x²-cosx，
∵f′（-x）=（-x）²-cos（-x）=x²-cosx=f′（x），
∴f′（x）為偶函數(shù)；
f″（x）=2x+sinx，
當x∈[0，1]時，f″（x）≥0，∴f′（x）遞增，
由f′（x）為偶函數(shù)，知f′（x）在[-1，0]上遞減，
∴f′（x）_min=f′（0）=-1，f′（x）_max=f′（-1）=f′（1）=1-cos1，
故選D．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬中檔題，奇偶性常用定義解決．