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設函數

（1）設，，證明：在區(qū)間內存在唯一的零點；

（2）設為偶數，，，求的最小值和最大值；

（3）設，若對任意，有，求的取值范圍；

 

【答案】

（1）在區(qū)間內存在唯一的零點.

（2）（3）。

【解析】

試題分析：（1）由，，得 

對恒成立，從而在單調遞增，

又，，

即在區(qū)間內存在唯一的零點.       分

（2）因為 

 由線性規(guī)劃

（或，）  分

（3）當時，

（Ⅰ）當或時，即或，此時

只需滿足，從而

（Ⅱ）當時，即，此時

只需滿足，即

解得：，從而

（Ⅲ）當時，即，此時

只需滿足，即

解得：，從而

綜上所述：    分

考點：本題主要考查集合的概念，函數與方程，導數研究函數單調性的應用，指數函數性質，不等式解法。

點評：綜合題，本題綜合性較強，難度較大。確定方程只有一個實根，通過構造函數，研究其單調性實現。由，確定得到，進一步得到，求得b的范圍。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

給定k∈N*，設函數f：N*→N*滿足：對于任意大于k的正整數n：f（n）=n-k
（1）設k=1，則其中一個函數f在n=1處的函數值為
a（a∈N*）
a（a∈N*）
；
（2）設k=5，且當n≤5時，1≤f（n）≤2，則不同的函數f的個數為
32
32
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x） 是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），已知當x∈[0，1]時，f（x）=3x．則
①2是f（x）的周期；　　　　　　　　
②函數f（x）的最大值為1，最小值為0；
③函數f（x）在（2，3）上是增函數；    
④直線x=2是函數f（x）圖象的一條對稱軸．
其中所有正確命題的序號是
①③④
①③④
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的定義域為A，值域為B，如果存在函數x=g（t），使得函數y=f（g（t））的值域仍然是B，那么稱函數x=g（t）是函數f（x）的一個等值域變換．
（1）判斷下列函數x=g（t）是不是函數f（x）的一個等值域變換？說明你的理由．
①f（x）=2x+1，x∈R，x=g（t）=t2-2t+3，t∈R；
②f（x）=x2-x+1，x∈R，x=g（t）=2t，t∈R；
（2）設函數f(x)=log2(x2-x+1)，g（t）=at2+2t+1，若函數x=g（t）是函數f（x）的一個等值域變換，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•普陀區(qū)一模）設函數f（x）和x都是定義在集合
2
上的函數，對于任意的
2
x，都有x成立，稱函數x與y在l上互為“l(fā)函數”．
（1）函數f（x）=2x與g（x）=sinx在M上互為“H函數”，求集合M；
（2）若函數f（x）=ax（a＞0且a≠1）與g（x）=x+1在集合M上互為“x函數”，求證：a＞1；
（3）函數m與m在集合M={x|x＞-1且x≠2k-3，k∈N*}上互為“m函數”，當m時，m，且m在m上是偶函數，求函數m在集合M上的解析式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數y=1-
2x+1-n
x2+x+1
（n∈N*）的最小值為an，最大值為bn，又Cn=3（an+bn）-9
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）求
lim
n→∞
C1+C2+…+Cn
Cn
（n∈N*）的值
（3）設Sn=
1
C1
+
1
C2
+…+
1
Cn
，dn=S2n+1-Sn，是否存在最小的整數m，使對任意的n∈N*都有dn＜
m
25
成立？若存在，求出m的值；若不存在請說明理由．

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