Question

【題目】已知橢圓： （）的兩個(gè)焦點(diǎn)為， ，離心率為，點(diǎn)， 在橢圓上， 在線(xiàn)段上，且的周長(zhǎng)等于．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過(guò)圓： 上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線(xiàn)和與圓交于點(diǎn)， ，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）取最大值.

【解析】試題分析：（1）由的周長(zhǎng)為可得，由離心率得，進(jìn)而的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先根據(jù)韋達(dá)定理證明兩切斜線(xiàn)斜率積為，進(jìn)而得兩切線(xiàn)垂直，得線(xiàn)段為圓的直徑， ，然后根據(jù)不等式及圓的幾何意義求的最大值．

試題解析：（1）由的周長(zhǎng)為，得， ，由離心率，得， ．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ．

（2）設(shè)，則．

（ⅰ）若兩切線(xiàn)中有一條切線(xiàn)的斜率不存在，則， ，另一切線(xiàn)的斜率為0，從而．此時(shí)， ．

（ⅱ）若切線(xiàn)的斜率均存在，則，設(shè)過(guò)點(diǎn)的橢圓的切線(xiàn)方程為，

代入橢圓方程，消并整理得： ．

依題意， ．

設(shè)切線(xiàn)， 的斜率分別為， ，從而，即．

線(xiàn)段為圓的直徑， ．

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 取最大值4．由（ⅰ）（ⅱ）可得： 最大值是4．