11．證明：$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{（n+1）（2n+1）}＜\frac{5}{12}$．

分析 運用$\frac{1}{（n+1）（2n+1）}$＜$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），將原不等式的左邊從第二項開始放縮，由不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 證明：由$\frac{1}{（n+1）（2n+1）}$＜$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
可得$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（n+1）（2n+1）}$＜$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{5}{12}$-$\frac{1}{2（n+1）}$＜$\frac{5}{12}$．
則原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用裂項相消和放縮法，考查推理和運算能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

1．老師帶甲乙丙丁四名學生去參加自主招生考試，考試結(jié)束后老師向四名學生了解考試情況，
四名學生回答如下：
甲說：“我們四人都沒考好”；             
乙說：“我們四人中有人考的好”；
丙說：“乙和丁至少有一人沒考好”；       
丁說：“我沒考好”．
結(jié)果，四名學生中有兩人說對了，則四名學生中（　�。� 兩人說對了．
A．甲 丙B．乙 丁C．丙 丁D．乙 丙

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．已知x，y，z均為正數(shù)，且x2+4y2+z2=3
（1）證明：x+2y+z≤3；
（2）求2xy+2yz+zx的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

19．在直角坐標系xOy中，曲線C1：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，其中0≤α＜π）．以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2：ρ+$\frac{9}{ρ}$=4cosθ-6sinθ（ρ＞0）
（I）當α=$\frac{3π}{4}$時，設(shè)曲線C1與C2交于A、B兩點，求|AB|；
（Ⅱ）已知曲線C1過定點P，Q是曲線C2上的動點，求|PQ|的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

6．直線y=x-2與拋物線y2=8x交于A，B兩點，則|AB|=16．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

16．若?x，y∈（0，+∞），恒有$\frac{x}{2x+y}$$+\frac{y}{x+2y}$≤a≤$\frac{x}{x+2y}$$+\frac{y}{2x+y}$，則常數(shù)a=$\frac{2}{3}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

3．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos2x，下面結(jié)論中錯誤的是（　�。�
A．函數(shù)f（x）的最小正周期為π
B．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對稱$
C．函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]上是增函數(shù)
D．函數(shù)f（x）的圖象可由g（x）=2sin2x-1的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．已知橢圓C1：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與拋物線C2：x2=y+1有公共弦AB（A在B左邊），AB=2，C2的頂點是C1的一個焦點，過點B且斜率為k（k≠0）的直線l與C1、C2分別交于點M、N（均異于點A、B）．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）若點A在以線段MN為直徑的圓外，求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．在一次招聘中，主考官要求應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，并獨立完成所抽取的3道題．甲能正確完成其中的4題，乙能正確完成每道題的概率為$\frac{2}{3}$，且每道題完成與否互不影響，規(guī)定至少正確完成2道題便可過關(guān)．
（1）記所抽取的3道題中，甲答對的題數(shù)為X，求X的分布列和期望；
（2）記乙能答對的題數(shù)為Y，求Y的分布列、期望和方差．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案