Question

20．已知橢圓C₁：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與拋物線C₂：x²=y+1有公共弦AB（A在B左邊），AB=2，C₂的頂點是C₁的一個焦點，過點B且斜率為k（k≠0）的直線l與C₁、C₂分別交于點M、N（均異于點A、B）．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）若點A在以線段MN為直徑的圓外，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線y=x²-1的頂點為（0，-1），可得橢圓的下焦點為（0，-1），c，由AB=2，可得x_B=1，代入拋物線得B（1，0），得b，再利用a²=b²+c²，即可得出橢圓C₁的方程．
（Ⅱ）依題意知直線l的方程為y=k（x-1），分別與橢圓、拋物線的方程聯立可得點M，N的坐標，再利用數量積的運算性質及其根與系數的關系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵拋物線y=x²-1的頂點為（0，-1），即橢圓的下焦點為（0，-1），
∴c=1，
由AB=2，知x_B=1，代入拋物線得B（1，0），得b=1，
∴a²=b²+c²=2，
∴C₁的方程為$\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$．
（Ⅱ）依題意知直線l的方程為y=k（x-1），
與聯立$\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$消去y得：（k²+2）x²-2k²x+k²-2=0，
則${x_M}•{x_B}=\frac{{{k^2}-2}}{{{k^2}+2}}$，得${x_M}=\frac{{{k^2}-2}}{{{k^2}+2}}$，${y_M}=\frac{-4k}{{{k^2}+2}}$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x^2}=y+1}\end{array}}\right.$，得x²-kx+k-1=0，
由△=k²-4（k-1）=（k-2）²＞0，得k≠2，
則x_N•x_B=k-1，得x_N=k-1，y_N=k（k-2），
∵點A在以MN為直徑的圓外，即$＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AN}＞$$∈[0，\;\frac{π}{2}）$，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}＞0$，又A（-1，0），
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（{x_M}+1，{y_M}）•（{x_N}+1，{y_N}）$=$\frac{{2{k^2}}}{{{k^2}+2}}•k+\frac{{-4{k^2}（k-2）}}{{{k^2}+2}}$=$\frac{{2{k^2}（4-k）}}{{{k^2}+2}}＞0$，
解得k＜4，綜上知k∈（-∞，0）∪（0，2）∪（2，4）．

點評 本題考查了橢圓與拋物線的方程及其性質、數量積運算性質、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．