Question

16．已知函數(shù)y=a^x+b（b＞0）是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，圖象經(jīng)過點P（1，3），則$\frac{4}{a-1}+\frac{1}$的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 函數(shù)y=a^x+b（b＞0）是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，圖象經(jīng)過點P（1，3），可得a＞1，3=a+b．于是$\frac{4}{a-1}+\frac{1}$=$\frac{1}{2}$（a-1+b）$（\frac{4}{a-1}+\frac{1}）$=$\frac{1}{2}$$（5+\frac{4b}{a-1}+\frac{a-1}）$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵函數(shù)y=a^x+b（b＞0）是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，圖象經(jīng)過點P（1，3），
∴a＞1，3=a+b．
∴$\frac{4}{a-1}+\frac{1}$=$\frac{1}{2}$（a-1+b）$（\frac{4}{a-1}+\frac{1}）$=$\frac{1}{2}$$（5+\frac{4b}{a-1}+\frac{a-1}）$≥$\frac{1}{2}$$（5+2\sqrt{\frac{4b}{a-1}×\frac{a-1}}）$=$\frac{9}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{7}{3}$，b=$\frac{2}{3}$時取等號．
故答案為：$\frac{9}{2}$

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．