Question

若函數y=為奇函數．
（1）求a的值；
（2）求函數的定義域；
（3）討論函數的單調性．

Answer 1

解：（1）∵函數y=f（x）=為奇函數，
∴f（-x）+f（x）=0
∴=0
∴
∴a=-
（2）f（x）=，∴2^x-1≠0，∴2^x≠1，∴x≠0
∴函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
（3）f（x）=在（-∞，0）和（0，+∞）上為增函數
證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則2^x₁＜2^x₂，2^x₁-1＞0，2^x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=（）-（）=＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（0，+∞）上為增函數．
任取x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，則-x₁＞-x₂＞0，
因為f（x）在（0，+∞）上為增函數，所以f（-x₁）＞f（-x₂），
因為f（x）是奇函數，所以f（-x₁）=-f（x₁），f（-x₂）=-f（x₂），
∴-f（x₁）＞-f（x₂），∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上為增函數．
分析：（1）根據函數y=f（x）=為奇函數，可得f（-x）+f（x）=0，由此可得，從而可求a的值；
（2）f（x）=，令2^x-1≠0，即可得到函數的定義域；
（3）f（x）=在（-∞，0）和（0，+∞）上為增函數，再利用單調性的定義進行證明．
點評：本題考查函數單調性與奇偶性的結合，考查函數單調性的定義，解題的關鍵是掌握函數單調性定義的證題步驟．