Question

若函數(shù)y=為奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)的定義域；
（3）討論函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)y=f（x）= 為奇函數(shù)，
∴f（﹣x）+f（x）=0
∴ =0
∴  ∴a=﹣ 
（2）f（x）= ，∴2x﹣1≠0，
∴2x≠1，∴x≠0
∴函數(shù)的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）
（3）f（x）= 在（﹣∞，0）和（0，+∞）上為增函數(shù)
證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則2x₁＜2x₂，2x₁﹣1＞0，2x₂﹣1＞0，
∴f（x₁）﹣f（x₂）
=（ ）﹣（ ）
= ＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
任取x₁，x₂∈（﹣∞，0）且x₁＜x₂，則﹣x₁＞﹣x₂＞0，
因為f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以f（﹣x₁）＞f（﹣x₂），
因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（﹣x₁）=﹣f（x₁），f（﹣x₂）=﹣f（x₂），
∴﹣f（x₁）＞﹣f（x₂），∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（﹣∞，0）上為增函數(shù)．