Question

6．如圖所示，四邊形ABCD和四邊形ADD₁A₁均為矩形且所在的平面互相垂直，E為線段AB的中點(diǎn)．
（1）證明：直線BD₁∥平面A₁DE；
（2）若AB=2AD=2AA₁=2，求點(diǎn)D₁到平面A₁DE的距離．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AD₁，A₁D，交于點(diǎn)F，連結(jié)EF，則EF∥BD₁，由此能證明直線BD₁∥平面A₁DE．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)D₁到平面A₁DE的距離．

解答 證明：（1）連結(jié)AD₁，A₁D，交于點(diǎn)F，連結(jié)EF，
∵四邊形ADD₁A₁為矩形，E為線段AB的中點(diǎn)，
∴EF∥BD₁，
∵EF?平面A₁DE，BD₁?平面A₁DE，
∴直線BD₁∥平面A₁DE．
解：（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB=2AD=2AA₁=2，
∴D₁（0，0，2），A₁（1，0，2），D（0，0，0），E（1，1，0），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，2），$\overrightarrow{DE}$=（1，1，0），$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，2），
設(shè)平面A₁DE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-2，-1），
∴點(diǎn)D₁到平面A₁DE的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{D{D}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．