Question

4．某工廠要生產(chǎn)體積為定值V的漏斗，現(xiàn)選擇半徑為R的圓形馬口鐵皮，截取如圖所示的扇形，焊制成漏斗．
（1）若漏斗的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，求圓形鐵皮的半徑R；
（2）這張圓形鐵皮的半徑R至少是多少？

Answer 1

分析 （1）求出漏斗高，利用體積求圓形鐵皮的半徑R；
（2）利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）漏斗高h(yuǎn)=$\frac{1}{2}$R，…（2分）
則體積V=$\frac{1}{3}$π（$\frac{\sqrt{3}}{2}$R）²h，所以R=2$\root{3}{\frac{V}{π}}$．      …（6分）
（2）設(shè)漏斗底面半徑為r（r＞0），V=$\frac{1}{3}$πr²$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$，R=$\sqrt{\frac{9{V}^{2}}{{π}^{2}{r}^{4}}+{r}^{2}}$，…（9分）
令f（r）=$\frac{9{V}^{2}}{{π}^{2}{r}^{4}}$+r²（r＞0），則f′（r）=$\frac{2{π}^{2}{r}^{6}-36{V}^{2}}{{π}^{2}{r}^{5}}$，
所以f（r）在（0，$\root{6}{\frac{18{V}^{2}}{{π}^{2}}}$）上單調(diào)減，（$\root{6}{\frac{18{V}^{2}}{{π}^{2}}}$，+∞）單調(diào)增，…（12分）
所以當(dāng)r=$\root{6}{\frac{18{V}^{2}}{{π}^{2}}}$時(shí)，R取最小值為$\root{3}{\frac{9\sqrt{3}V}{2π}}$．…（15分）
答：這張圓形鐵皮的半徑R至少為$\root{3}{\frac{9\sqrt{3}V}{2π}}$．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何中的最值、函數(shù)中的最值的求法；考查函數(shù)思想；考查閱讀理解能力、數(shù)學(xué)建模的能力、運(yùn)算能力和敘述表達(dá)能力．