Question

16．三棱臺(tái)ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱CC₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=B₁C₁=a，BC=2a，AB₁與CC₁成45°角，D為BC中點(diǎn)，
（1）B₁D與平面ABC的位置關(guān)系如何？
（2）求三棱臺(tái)的體積；
（3）求A₁C₁與平面AB₁C的距離．

Answer 1

分析 （1）由BC中點(diǎn)為D且B₁C₁=a，BC=2a，可得四邊形DCC₁B₁為平行四邊形，得到B₁D∥C₁C，又C₁C⊥平面ABC，可得B₁D⊥平面ABC；
（2）在三棱臺(tái)ABC-A₁B₁C₁中，求解直角三角形可得${B}_{1}D=AD=\sqrt{2}a$，再求出棱臺(tái)上下底面的面積，可得三棱臺(tái)的體積；
（3）由A₁C₁∥AC，可得A₁C₁∥平面AB₁C，再由已知可得CC₁⊥底面A₁B₁C₁，進(jìn)一步得到CC₁⊥B₁C₁，則△B₁C₁C為直角三角形，然后證明面AB₁C⊥平面BCC₁B₁，在平面BCC₁B₁內(nèi)過(guò)C₁作C₁G⊥B₁C，可得C₁G為A₁C₁與平面AB₁C的距離，然后通過(guò)面積相等求得A₁C₁與平面AB₁C的距離．

解答 解：（1）∵BC中點(diǎn)為D且B₁C₁=a，BC=2a，∴B₁C₁∥CD，B₁C₁=CD，
∴四邊形DCC₁B₁為平行四邊形，則B₁D∥C₁C，
∵C₁C⊥平面ABC，∴B₁D⊥平面ABC；
（2）在三棱臺(tái)ABC-A₁B₁C₁中，
∵AC=B₁C₁=a，BC=2a，∴${A}_{1}{C}_{1}=\frac{a}{2}$，
∵∠ACB=90°，∴$AD=\sqrt{2}a$，
又AB₁與CC₁成45°角，B₁D∥C₁C，
∴${B}_{1}D=AD=\sqrt{2}a$，
${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×a×\frac{a}{2}=\frac{{a}^{2}}{4}$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2a×a={a}^{2}$，
則${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{3}×{B}_{1}D×（{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}+\sqrt{{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}•{S}_{△ABC}}+{S}_{△ABC}）$
=$\frac{1}{3}×$$\sqrt{2}a$×$（\frac{{a}^{2}}{4}+\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}•{a}^{2}}+{a}^{2}）$=$\frac{17\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$；
（3）∵A₁C₁∥AC，AC?平面AB₁C，
∴A₁C₁∥平面AB₁C，
∵棱CC₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥底面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥B₁C₁，則△B₁C₁C為直角三角形，
由題意AC⊥平面BCC₁B₁，可得面AB₁C⊥平面BCC₁B₁，
在平面BCC₁B₁內(nèi)過(guò)C₁作C₁G⊥B₁C，垂足為G，
則C₁G為A₁C₁與平面AB₁C的距離，
在Rt△B₁C₁C中，∵B₁C₁=a，${C}_{1}C=\sqrt{2}a$，
∴${B}_{1}C=\sqrt{3}a$，
則${C}_{1}G=\frac{a•\sqrt{2}a}{\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{6}}{3}a$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中的點(diǎn)、線(xiàn)、面間距離的計(jì)算，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了多面體體積的求法，是中檔題．