Question

10．已知函數(shù)f（x）=ln$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$，g（x）=e^x-2，對(duì)于?m∈R，?n∈（0，+∞）使得f（m）=g（n）成立，則n-m的最大值為（　　）

• A． -ln2
• B． ln2
• C． 2$\sqrt{e}$-3
• D． e²-3

Answer 1

分析 不妨設(shè)f（m）=g（n）=a，從而可得n-m的表達(dá)式，（a＞0）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再求最小值即可．

解答 解：不妨設(shè)f（m）=g（n）=a，
∴e^n-2=ln$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{2}$=a，
∴n-2=lna，m=2•${e}^{a-\frac{1}{2}}$，
故n-m=lna-2•${e}^{a-\frac{1}{2}}$+2，（a＞0）
令h（a）=lna-2•${e}^{a-\frac{1}{2}}$+2，
h′（a）=$\frac{1}{a}$-2•${e}^{a-\frac{1}{2}}$，
易知h′（a）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
且h′（$\frac{1}{2}$）=0，
故h（a）在a=$\frac{1}{2}$處有最大值，
即n-m的最大值為ln2；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．