Question

15．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2ax，x≥2\\ 4x-6，x＜2\end{array}$在定義域R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． a≥0
• B． a≤0
• C． $a≤\frac{1}{2}$
• D． a≤-1

Answer 1

分析 由題意可知當(dāng)x＜2時，f（x）=4x-6，在（-∞，2）單調(diào)遞增，恒成立，當(dāng)x≥2時，由f（x）=x²-2ax，由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-2a}{2}≤2}\\{4×2-4a≥4×2-6}\end{array}\right.$，即可求得a的取值范圍．

解答 解：由題意可知：當(dāng)x＜2時，f（x）=4x-6，在（-∞，2）單調(diào)遞增，恒成立，
當(dāng)x≥2時，由f（x）=x²-2ax，
由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知：函數(shù)在[2，+∞）單調(diào)遞增，
則對稱軸x=-$\frac{-2a}{2}$≤2，f（2）≥4×2-6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-2a}{2}≤2}\\{4×2-4a≥4×2-6}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{4a≤2}\end{array}\right.$，解得：a≤$\frac{1}{2}$，
a的取值范圍為a≤$\frac{1}{2}$，
故選C．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查分段函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查分類討論思想，屬于中檔題．