Question

3．設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，b²=a²+c²-$\sqrt{3}$ac
（1）求B的大��；
（2）求cosA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理求出cosB即可得出B的大��；
（2）用A表示出C，再利用和差公式化簡得出cosA+sinC關(guān)于A的三角函數(shù)，求出A的范圍利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．

解答 解：（1）∵b²=a²+c²-$\sqrt{3}$ac，∴a²+c²-b²=$\sqrt{3}$ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵0$＜B＜\frac{π}{2}$，
∴B=$\frac{π}{6}$．
（2）由（1）知C=$\frac{5π}{6}$-A，
∴cosA+sinC=cosA+sin（$\frac{5π}{6}$-A）=$\frac{3}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$），
∵△ABC為銳角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{5π}{6}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{π}{3}＜A＜\frac{π}{2}$．
∴$\frac{2π}{3}＜A+\frac{π}{3}＜\frac{5π}{6}$，∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{3}$）＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}＜$$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$）＜$\frac{3}{2}$，
∴cosA+sinC的取值范圍為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．