Question

1．已知拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)為F，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為P，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，以|OF|長(zhǎng)為半徑的圓，與拋物線(xiàn)在第四象限的交點(diǎn)記為B，∠FPB=θ，則sinθ的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$-1
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$-1

Answer 1

分析 求出圓O的方程，聯(lián)立方程組解出B的橫坐標(biāo)，根據(jù)圓的性質(zhì)和拋物線(xiàn)的性質(zhì)得出sinθ=$\frac{|BF|}{|PF|}$．

解答 解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1，∴P（-1，0），∴圓O的方程為x²+y²=1．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得x²+4x-1=0，解得x=$\sqrt{5}$-2或x=-$\sqrt{5}$-2（舍）．
∵B在拋物線(xiàn)y²=4x上，
∴|BF|=$\sqrt{5}$-2+1=$\sqrt{5}-1$．
∵PF是圓O的直徑，∴PB⊥BF，∴sinθ=$\frac{|BF|}{|PF|}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．