Question

16．定義在R上的函數(shù)f（x），f′（x）是其導數(shù)，且滿足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，則不等式e^xf（x）＞4+2e^x（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，0）∪（1，+∞）
• C． （-∞，0）∪（0，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 構造函數(shù)g（x）=e^xf（x）-2e^x，（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結合原函數(shù)的性質和函數(shù)值，即可求解．

解答 解：設g（x）=e^xf（x）-2e^x，（x∈R），
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-2e^x=e^x[f（x）+f′（x）-2]，
∵f（x）+f′（x）＞2，
∴f（x）+f′（x）-2＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，
∵e^xf（x）＞2e^x+4，
∴g（x）＞4，
又∵g（1）=ef（1）-2e=4，
∴g（x）＞g（1），
∴x＞1，
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結合，結合已知條件構造函數(shù)，然后用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關鍵