【題目】已知圓,橢圓()的短軸長(zhǎng)等于圓半徑的倍,的離心率為.
(1)求的方程;
(2)若直線與交于兩點(diǎn),且與圓相切,證明:為直角三角形.
【答案】(1); (2)證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可求出的方程;
(2)法一,分直線斜率不存在和存在兩種情況,求出點(diǎn)坐標(biāo)利用向量數(shù)量積即可證明,法二,分和軸平行和不平行兩種情況,后和法一一樣.
(1)因?yàn)閳A的半徑為,
所以的短軸長(zhǎng)為,
所以,解得.
因?yàn)?/span>的離心率為,所以 ①,
又因?yàn)?/span>,所以 ②,
聯(lián)立①② ,解得,
所以所求的方程為
(2)證明:證法一:①當(dāng)直線斜率不存在時(shí), 直線的方程為.
當(dāng)時(shí),
所以
當(dāng)時(shí),
所以,
綜上,
所以為直角三角形.
②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)其方程為
直線與圓相切,
即,
由得,,
所以
所以
所以
綜上所述: 所以為直角三角形.
證法二:①當(dāng)直線方程為時(shí),
所以所以為直角三角形.
②當(dāng)直線方程為時(shí),
所以所以為直角三角形.
③當(dāng)直線不與軸平行時(shí),設(shè)其方程為
因?yàn)橹本與圓相切,所以,即
由得,
所以
所以所以為直角三角形.
綜上所述: 為直角三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】新中國(guó)成立70周年,社會(huì)各界以多種形式的慶祝活動(dòng)祝福祖國(guó),其中,“快閃”因其獨(dú)特新穎的傳播方式吸引大眾眼球.根據(jù)騰訊指數(shù)大數(shù)據(jù),關(guān)注“快閃”系列活動(dòng)的網(wǎng)民群體年齡比例構(gòu)成,及男女比例構(gòu)成如圖所示,則下面相關(guān)結(jié)論中不正確的是( )
A.35歲以下網(wǎng)民群體超過(guò)70%
B.男性網(wǎng)民人數(shù)多于女性網(wǎng)民人數(shù)
C.該網(wǎng)民群體年齡的中位數(shù)在15~25之間
D.25~35歲網(wǎng)民中的女性人數(shù)一定比35~45歲網(wǎng)民中的男性人數(shù)多
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)作垂直于軸的直線,在軸的上方交雙曲線C于點(diǎn)M,且
(1)求雙曲線C的方程;
(2)過(guò)雙曲線C上任意一點(diǎn)P作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)若是定義在上的單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),判斷與的圖象在其公共點(diǎn)處是否存在公切線?若存在,求滿足條件的a值的個(gè)數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下上至處有兩種路徑.一種是從沿直線步行到,另一種是先從沿索道乘纜車到,然后從沿直線步行到.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山,甲沿勻速步行,速度為.在甲出發(fā)后,乙從乘纜車到,在處停留后,再?gòu)?/span>勻速步行到,假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為,山路長(zhǎng)為1260,經(jīng)測(cè)量,.
(1)求索道的長(zhǎng);
(2)問(wèn):乙出發(fā)多少后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過(guò),乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)討論在上的單調(diào)性;
(2)證明:在上有三個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題
①命題“若,則”的逆命題是真命題;
②若,,則在上的投影是;
③在的二項(xiàng)展開式中,有理項(xiàng)共有4項(xiàng);
④已知一組正數(shù),,,的方差為,則數(shù)據(jù),,,的平均數(shù)為4;
⑤復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,則.
其中真命題的個(gè)數(shù)為( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù);
(1)當(dāng)時(shí),解不等式;
(2)若,且在閉區(qū)間上有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的范圍;
(3)如果函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),且不等式對(duì)任意均成立,求實(shí)數(shù)的取值集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在上存在極大值,求的取值范圍;
(2)若軸是曲線的一條切線,證明:當(dāng)時(shí),.
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