【題目】已知函數(shù).

（1）若在上存在極大值，求的取值范圍；

（2）若軸是曲線的一條切線，證明：當時，.

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）求得的導函數(shù)，對分成三種情況，結合在上存在極大值，求得的取值范圍.

（2）首先根據(jù)軸是曲線的一條切線求得的值，構造函數(shù)，利用導數(shù)求得在區(qū)間上的最小值為，由此證得，從而證得不等式成立.

（1）解：，令，得，.

當時，，單調(diào)遞增，無極值，不合題意；

當時，在處取得極小值，在處取得極大值，

則，又，所以；

當時，在處取得極大值，在處取得極小值，

則，又，所以.

綜上，的取值范圍為.

（2）證明：由題意得，或，即（不成立），或，

解得.

設函數(shù)，，

當或時，；當時，.

所以在處取得極小值，且極小值為.

又，所以當時，，

故當時，.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項和為，把滿足條件的所有數(shù)列構成的集合記為.

（1）若數(shù)列通項為，求證：；

（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求的取值范圍；

（3）若數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，數(shù)列中是否存在無窮多項依次成等差數(shù)列，若存在，給出一個數(shù)列的通項；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，側面底面，，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，，且與平面所成的角為，求二面角的平面角的余弦值．

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【題目】一個圓內(nèi)有6000個點，其中任三點都不共線；①能否把這個圓分成2000塊，使每塊恰含有三個點，如何分？②若每塊中三點滿足：兩兩間的距離皆為整數(shù)且不超過9，則以每塊中的三點為頂點作三角形，這些三角形中大小完全一樣的三角形至少有多少個？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了豐富學生的課外文化生活，某中學積極探索開展課外文體活動的新途徑及新形式，取得了良好的效果.為了調(diào)查學生的學習積極性與參加文體活動是否有關，學校對200名學生做了問卷調(diào)查，列聯(lián)表如下：

參加文體活動

不參加文體活動

合計

學習積極性高

80

學習積極性不高

60

合計

200

已知在全部200人中隨機抽取1人，抽到學習積極性不高的學生的概率為.

（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整；

（2）是否有99.9%的把握認為學習積極性高與參加文體活動有關？請說明你的理由；

（3）若從不參加文體活動的同學中按照分層抽樣的方法選取5人，再從所選出的5人中隨機選取2人，求至少有1人學習積極性不高的概率.

附：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

，其中.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】探月工程“嫦娥四號”探測器于2018年12月8日成功發(fā)射，實現(xiàn)了人類首次月球背面軟著陸.以嫦娥四號為任務圓滿成功為標志，我國探月工程四期和深空探測工程全面拉開序幕.根據(jù)部署，我國探月工程到2020年前將實現(xiàn)“繞、落、回”三步走目標.為了實現(xiàn)目標，各科研團隊進行積極的備戰(zhàn)工作.某科研團隊現(xiàn)正準備攻克甲、乙、丙三項新技術，甲、乙、丙三項新技術獨立被攻克的概率分別為，若甲、乙、丙三項新技術被攻克，分別可獲得科研經(jīng)費萬，萬，萬.若其中某項新技術未被攻克，則該項新技術沒有對應的科研經(jīng)費.

（1）求該科研團隊獲得萬科研經(jīng)費的概率；

（2）記該科研團隊獲得的科研經(jīng)費為隨機變量，求的分布列與數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】自出生之日起，人的情緒、體力、智力等心理、生理狀況就呈周期變化，變化由線為.根據(jù)心理學家的統(tǒng)計，人體節(jié)律分為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律三種.這些節(jié)律的時間周期分別為23天、28天、33天.每個節(jié)律周期又分為高潮期、臨界日和低潮期三個階段.以上三個節(jié)律周期的半數(shù)為臨界日，這就是說11.5天、14天、16.5天分別為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律的臨界日.臨界日的前半期為高潮期，后半期為低潮期.生日前一天是起始位置（平衡位置），已知小英的生日是2003年3月20日（每年按365天計算）.

（1）請寫出小英的體力、情緒和智力節(jié)律曲線的函數(shù)；

（2）試判斷小英在2019年4月22日三種節(jié)律各處于什么階段，當日小英是否適合參加某項體育競技比賽？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某種工業(yè)機器生產(chǎn)商，對一次性購買2臺機器的客戶，推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：

方案一：交納延保金700元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修2次，超過2次每次收取維修費200元；

方案二：交納延保金1000元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修4次，超過4次每次收取維修費100元．

某工廠準備一次性購買2臺這種機器．現(xiàn)需決策在購買機器時應購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺這種機器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：

維修次數(shù)

0

1

2

3

臺數(shù)

5

20

10

15

以這50臺機器維修次數(shù)的頻率代替1臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率．記X表示這2臺機器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)．

（1）求X的分布列；

（2）以所需延保金及維修費用的期望值為決策依據(jù)，工廠選擇哪種延保方案更合算？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)在區(qū)間[1,2]上的最大值；

（2）設在(0,2)內(nèi)恰有兩個極值點，求實數(shù)m的取值范圍.

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