Question

3．設(shè)a=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx，且二項(xiàng)式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則其展開(kāi)式中含x²項(xiàng)的系數(shù)是（　�。�

• A． -192
• B． 192
• C． -6
• D． 6

Answer 1

分析 先求定積分得出a的值，二項(xiàng)式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，求出n的值，再在二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，再令x的系數(shù)等于2，求得r的值，即可求得展開(kāi)式中含x²項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：a=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx=（sinx-cosx）${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=2，
∵二項(xiàng)式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，
∴n=6，
∴二項(xiàng)式（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T_r+1=（-1）^r•${C}_{6}^{r}•{2}^{6-r}$x^3-r．
令3-r=2，解得 r=1，故展開(kāi)式中含x²項(xiàng)的系數(shù)是-6×2⁵=-192，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求定積分，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．