Question

12．如圖，已知四邊形ABCD為菱形，平面ABCD外一點P，PB⊥AD，△PAD為邊長等于2的正三角形，且PB在平面ABCD的射影長等于$\frac{3}{2}\sqrt{3}$．
（I）求點P到平面ABCD的距離；
（II）求PC與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設P在平面ABCD的射影為E，連BE交AD于O點，推導出△ABD為正三角形．由此能求出點P到平面ABCD的距離．
（Ⅱ）在直角△EBC中，求出CE，由此能求出PC與平面ABCD所成的角θ的正切值．

解答 解：（Ⅰ）設P在平面ABCD的射影為E，連BE交AD于O點，
由題意知EB⊥AD，
∴PO⊥AD，OE⊥AD，∴O為AD的中點，
∴△ABD為正三角形．
∴OE=$\frac{3}{2}\sqrt{3}-\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．PE=$\sqrt{3}$，
∴$cos∠POE=\frac{OE}{PE}=\frac{1}{2}$，∴∠POE=60°，
∴點P到平面ABCD的距離$d=PE=PO×sin{60°}=\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{3}{2}$．
（Ⅱ）在直角△EBC中，
$EC=\sqrt{E{B^2}+B{C^2}}=\sqrt{{{（\frac{{3\sqrt{3}}}{2}）}^2}+{2^2}}=\frac{{\sqrt{43}}}{2}$
∴PC與平面ABCD所成的角θ的正切值為：
$tanθ=\frac{PE}{EC}=\frac{{3\sqrt{43}}}{43}$．

點評 本題考查點到平面的距離、線面角的正切值的求法，考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合，考查創(chuàng)新意識、應用意識，是中檔題．