設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和
滿足
,其中
.
⑴若,求
及
;
⑵若,求證:
,并給出等號(hào)成立的充要條件.
(1),
;(2)當(dāng)且僅當(dāng)
或
時(shí)等號(hào)成立.
解析試題分析:(1)已知 與
的關(guān)系式求出首項(xiàng)和通項(xiàng),通常都是取特值和寫一個(gè)遞推式相減即可.(2)由(1)得到
,分析第1,2項(xiàng)可得后要證的問題等價(jià)于
本題是通過利用對(duì)稱項(xiàng)
的關(guān)系來證明的,該對(duì)稱項(xiàng)是通過對(duì)
的范圍的討論得到的. 通過累加后得到
,然后不等式的兩邊同時(shí)加上
即可得到答案.
試題解析:⑴ ………①,
當(dāng)時(shí)代入①,得
,解得
;
由①得,兩式相減得
(
),故
,故
為公比為2的等比數(shù)列,
故(對(duì)
也滿足);
⑵當(dāng)或
時(shí),顯然
,等號(hào)成立.
設(shè),
且
,由(1)知,
,
,所以要證的不等式化為:
即證:
當(dāng)時(shí),上面不等式的等號(hào)成立.
當(dāng)時(shí),
與
,(
)同為負(fù);
當(dāng)時(shí),
與
,(
)同為正;
因此當(dāng)且
時(shí),總有 (
)(
)>0,即
,(
).
上面不等式對(duì)從1到
求和得,
;
由此得 ;
綜上,當(dāng)且
時(shí),有
,當(dāng)且僅當(dāng)
或
時(shí)等號(hào)成立.
考點(diǎn):1.數(shù)列的求和與通項(xiàng)的關(guān)系.2.數(shù)列中不等式的證明.3.數(shù)列的累加法的應(yīng)用.4.分類的思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列滿足:
其中
,數(shù)列
滿足:
(1)求;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)是否存在正數(shù)k,使得數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù),如果不存在,說明理由,如果存在,求出所有的k.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列,
,且滿足
.
(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)設(shè),求數(shù)列
的前n項(xiàng)和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列的首項(xiàng)
其中
,
,令集合
.
(1)若是數(shù)列
中首次為1的項(xiàng),請(qǐng)寫出所有這樣數(shù)列的前三項(xiàng);
(2)求證:對(duì)恒有
成立;
(3)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)公比大于零的等比數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,且
,
,數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,滿足
,
,
.
(Ⅰ)求數(shù)列、
的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)滿足對(duì)所有的
均成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列是等比數(shù)列,首項(xiàng)
.
(l)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列,證明數(shù)列
是等差數(shù)列并求前n項(xiàng)和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,
.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2) 設(shè),求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
等比數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,已知對(duì)任意的
,點(diǎn)
均在函數(shù)
且
均為常數(shù))的圖像上.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),記
,求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù),數(shù)列
前
項(xiàng)和
,
,數(shù)列
,滿足
.(Ⅰ)求數(shù)列
的通項(xiàng)公式
;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,證明:
。
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