已知數(shù)列的首項其中,,令集合.
(1)若是數(shù)列中首次為1的項,請寫出所有這樣數(shù)列的前三項;
(2)求證:對恒有成立;
(3)求證:.

(1)9,3,1或2,3,1;(2)詳見解析;(3)詳見解析.

解析試題分析:(1)從入手,反過來求.從條件可看出,首先分討論,然后分討論.
(2)首先由遞推公式將表示出來,再與比較即可.
(3)注意.當或2、3時,可求出前三項,前三項就是1、2、3三個數(shù),結(jié)論成立.
那么當時,結(jié)論是否成立?由遞推公式的結(jié)構(gòu)可以看出,當時,數(shù)列中的項最終必將小于或等于3.現(xiàn)在的問題是如何來證明這一點.注意(2)小題的結(jié)論,由可得,這說明,“若,則”,這樣依次遞減下去,數(shù)列中的項最終必將小于或等于3.一旦小于等于3,則必有1、2、3,從而問題得證.
試題解析:(1)由題設(shè)知,數(shù)列各項均大于0.
時,.若,則;若,則.
所以前三項分別為9,3,1或2,3,1.
時,,不合題意,舍去.
綜上得,前三項分別為9,3,1或2,3,1.
(2)①當被3除余1時,由已知可得,;
②當被3除余2時,由已知可得,.
仍為3的倍數(shù),則;若不為3的倍數(shù),則.
總之,都有;
③當被3除余0時,由已知可得.
都是3的倍數(shù),則.
是3的倍數(shù),不是3的倍數(shù),則.
不是3的倍數(shù),是3的倍數(shù),則.
以上三種情況,都有;
綜合①②③,有.
(3)注意.若,則,.
,則.
,則,.
以上三種情況都有(實際上).
下面證明,當時,數(shù)列中必存在某一項.
由(2)可得,
所以,對于數(shù)列

練習冊系列答案
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已知數(shù)列,滿足,,數(shù)列的前項和為,.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求證:;
(3)求證:當時,

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已知數(shù)列滿足:,且,
(1)求通項公式;
(2)求數(shù)列的前n項的和

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已知等差數(shù)列滿足:,的前項和為.
(1)求;
(2)令,求數(shù)列的前項和.

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若無窮數(shù)列滿足:①對任意,;②存在常數(shù),對任意,,則稱數(shù)列為“數(shù)列”.
(Ⅰ)若數(shù)列的通項為,證明:數(shù)列為“數(shù)列”;
(Ⅱ)若數(shù)列的各項均為正整數(shù),且數(shù)列為“數(shù)列”,證明:對任意,;
(Ⅲ)若數(shù)列的各項均為正整數(shù),且數(shù)列為“數(shù)列”,證明:存在,數(shù)列為等差數(shù)列.

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已知是曲線C:上的一點(其中),過點作與曲線C在處的切線垂直的直線軸于點,過作與軸垂直的直線與曲線C在第一象限交于點;再過點作與曲線C在處的切線垂直的直線交軸于點,過作與軸垂直的直線與曲線C在第一象限交于點;如此繼續(xù)下去,得一系列的點、、、、。(其中

(1)求數(shù)列的通項公式。
(2)若,且是數(shù)列的前項和,是數(shù)列的前

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設(shè)數(shù)列的前項和滿足,其中.
⑴若,求;
⑵若,求證:,并給出等號成立的充要條件.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

單調(diào)遞增數(shù)列的前項和為,且滿足,
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項和

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數(shù)列的各項均為正數(shù),為其前項和,對于任意的,總有成等差數(shù)列.
(1)求
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)設(shè)數(shù)列的前項和為,且,求證:對任意正整數(shù),總有

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