Question

15．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（n＞0，b＞0）上一點(diǎn)C，過(guò)雙曲線的中心作直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，記直線AC，BC的斜率分別為k₁，k₂，當(dāng)$\frac{2}{{k}_{1}{k}_{2}}$+ln|k₁|+ln|k₂|取最小值時(shí)，雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由雙曲線的對(duì)稱性得B（-x₁，-y₁），從而得到k₁k₂=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，$\frac{2}{{k}_{1}{k}_{2}}$+ln|k₁|+ln|k₂|=$\frac{2}{{k}_{1}{k}_{2}}$+ln（k₁k₂），再由構(gòu)造法利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由題意知點(diǎn)A，B為過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的交點(diǎn)，
∴由雙曲線的對(duì)稱性得A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴B（-x₁，-y₁），
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，
∵點(diǎn)A，C都在雙曲線上，
∴代入，兩式相減，得：$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$
∴k₁k₂=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$＞0，
∴$\frac{2}{{k}_{1}{k}_{2}}$+ln|k₁|+ln|k₂|=$\frac{2}{{k}_{1}{k}_{2}}$+ln（k₁k₂），
對(duì)于函數(shù)y=$\frac{2}{x}$+lnx（x＞0），
由y′=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=0，得x=0（舍）或x=2，
x＞2時(shí)，y′＞0，0＜x＜2時(shí)，y′＜0，
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y=$\frac{2}{x}$+lnx（x＞0）取得最小值，
∴當(dāng)$\frac{2}{{k}_{1}{k}_{2}}$+ln|k₁|+ln|k₂|最小時(shí)，k₁k₂=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=2，
∴e=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，涉及到導(dǎo)數(shù)、最值、雙曲線、離心率等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．