Question

4．（1）證明：如果a＞0，b＞0，那么$\frac{a}{{\sqrt}}+\frac{{\sqrt{a}}}≥\sqrt{a}+\sqrt$；
（2）已知2x+3y+4z=10，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

分析 （1）作差利用乘法公式與實(shí)數(shù)的性質(zhì)即可得出．
（2）利用柯西不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 （1）證明：$\frac{a}{{\sqrt}}+\frac{{\sqrt{a}}}-（\sqrt{a}+\sqrt）$=$\frac{a}{{\sqrt}}-\sqrt+\frac{{\sqrt{a}}}-\sqrt{a}$=$\frac{a-b}{{\sqrt}}+\frac{b-a}{{\sqrt{a}}}$=$（a-b）（\frac{1}{{\sqrt}}-\frac{1}{{\sqrt{a}}}）$=$\frac{{{{（\sqrt{a}-\sqrt）}^2}（\sqrt{a}+\sqrt）}}{{\sqrt{ab}}}$
∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{{{{（\sqrt{a}-\sqrt）}^2}（\sqrt{a}+\sqrt）}}{{\sqrt{ab}}}≥0$，
∴$\frac{a}{{\sqrt}}+\frac{{\sqrt{a}}}≥\sqrt{a}+\sqrt$．
（2）∵（2²+3²+4²）（x²+y²+z²）≥（2x+3y+4z）²=100，
∴x²+y²+z²≥$\frac{100}{29}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$=$\frac{10}{29}$時(shí)取等號(hào)．
∴x²+y²+z²的最小值為$\frac{100}{29}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了柯西不等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)、作差法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．