12．若函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)于?x∈R，f′（x）＜f（x），且f（x+1）為偶函數(shù)，f（2）=1，不等式f（x）＜ex的解集為（0，+∞）．

分析 由已知對(duì)于?x∈R，f′（x）＜f（x），可聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求導(dǎo)得其單調(diào)性，結(jié)合f（x+1）為偶函數(shù)，且f（2）=1求得g（0）=1，把不等式f（x）＜ex變形后利用函數(shù)單調(diào)性求解得答案．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}f′（x）-{e}^{x}f（x）}{{e}^{2x}}=\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵對(duì)于?x∈R，f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0，
∴函數(shù)g（x）為實(shí)數(shù)上的減函數(shù)，
∵f（x+1）為偶函數(shù)，∴f（1+x）=f（1-x），即f（2+x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，則f（0）=f（2）=1．
∴g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}=1$．
由f（x）＜ex，得$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1，即g（x）＜g（0）．
∵函數(shù)g（x）為實(shí)數(shù)上的減函數(shù)，
∴x＞0．
∴不等式f（x）＜ex的解集為（0，+∞）．
故答案為：（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2）．
（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件數(shù)，求P（X≥1）及X的數(shù)學(xué)期望；
（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．
（�。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；
（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：
9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04
10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95
經(jīng)計(jì)算得$\overline{x}$=$\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}{x_i}$=9.97，s=$\sqrt{\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{16}（\sum_{i=1}^{16}{{x}_{i}}^{2}-16{\overline{x}}^{2}）}$≈0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i=1，2，…，16．
用樣本平均數(shù)$\overline{x}$作為μ的估計(jì)值$\hat μ$，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值$\hat σ$，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除（$\hat μ$-3$\hat σ，\hat μ$+3$\hat σ$）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ（精確到0.01）．
附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，$\sqrt{0.008}$≈0.09．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2．
（Ⅰ）求證：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；
（Ⅲ）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{21}$，求線段AH的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F（-c，0），右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，c），△EFA的面積為$\frac{b^2}{2}$．
（I）求橢圓的離心率；
（II）設(shè)點(diǎn)Q在線段AE上，|FQ|=$\frac{3}{2}$c，延長(zhǎng)線段FQ與橢圓交于點(diǎn)P，點(diǎn)M，N在x軸上，PM∥QN，且直線PM與直線QN間的距離為c，四邊形PQNM的面積為3c．
（i）求直線FP的斜率；
（ii）求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，其一條漸近線方程y=x，若P（m，1）在雙曲線上，求$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

17．下列推理正確的是（　　）
A．如果不買彩票，那么就不能中獎(jiǎng)，因?yàn)槟阗I了彩票，所以你一定中獎(jiǎng)
B．因?yàn)閍＞b，a＞c，所以a-b＞a-c
C．若a，b均為正實(shí)數(shù)，則lg a+lg b≥$\sqrt{lga•lgb}$
D．若a為正實(shí)數(shù)，ab＜0，則$\frac{a}$+$\frac{a}$=-（$\frac{-a}$+$\frac{-b}{a}$）≤-2 $\sqrt{（\frac{-a}）•（\frac{-b}{a}）}$=-2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．（1）證明：如果a＞0，b＞0，那么$\frac{a}{{\sqrt}}+\frac{{\sqrt{a}}}≥\sqrt{a}+\sqrt$；
（2）已知2x+3y+4z=10，求x2+y2+z2的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

1．已知O是三角形ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{AP}=λ（\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}）λ∈{R^+}$，則P點(diǎn)軌跡一定通過三角形ABC的（　　）
A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+2lnx（a∈R），g（x）=2ex+3x2（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=g（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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