Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（Ⅰ）若關于x的方程|f（x）|=g（x）只有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若當x∈R時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若a＜0，求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若關于x的方程|f（x）|=g（x）只有一個實數(shù)解?方程|f（x）|=g（x）只有一個實數(shù)解，從而可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若當x∈R時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即x²-1≥a|x-1|恒成立，分x=1、x＞1與x＜1三類討論，即可求得實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若a＜0，函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a-1，1≤x≤2}\\{{x}^{2}-ax+a-1，-2≤x＜1}\end{array}\right.$，通過對函數(shù)的對稱軸位置的討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得其在[-2，2]上的最大值．

解答 （12分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|，方程|f（x）|=g（x）只有一個實數(shù)解，
∴|x²-1|=a|x-1|，∴|x-1|（|x+1|-a）=0只有一個實數(shù)解，∴a＜0…3分
（Ⅱ）當x∈R時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即x²-1≥a|x-1|恒成立，
①當x=1時，a∈R；
②當x＞1時，x+1≥a恒成立，∴a≤2；
③當x＜1時，x²-1≥-a（x-1），∴x+1≤-a，∴-a≥2，∴a≤-2，
綜上可得a≤-2…7分
（Ⅲ）若a＜0，函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a-1，1≤x≤2}\\{{x}^{2}-ax+a-1，-2≤x＜1}\end{array}\right.$，
當-$\frac{1}{2}$a≥$\frac{3}{2}$，即a≤-3時，$\frac{a}{2}$≤-$\frac{3}{2}$，h（x）_max=h（1）=0；
當-$\frac{1}{2}$≤-$\frac{a}{2}$＜$\frac{3}{2}$，即-3＜a≤-1時，h（x）_max=h（2）=3+a；
當0＜-$\frac{a}{2}$＜＜$\frac{1}{2}$，即-1＜a＜0時，h（2）=3+a，h（-2）=3+3a＜3+a=h（2），
h（x）_max=h（2）=3+a…10分
綜上所述，h（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{0，a≤-3}\\{3+a，-3＜a＜0}\end{array}\right.$…12分

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，突出考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想，考查推理運算能力，屬于難題．