Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A，B分別是橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的端點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線AB的距離為

2

5

5

b．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）直線l與圓O：x²+y²=b²相切，并且被橢圓C截得的弦長(zhǎng)的最大值為2，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：對(duì)于（1），由A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得直線AB的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式，得a，b的關(guān)系式，聯(lián)立b²=a²-c²，可得離心率e．
對(duì)于（2），當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+m，聯(lián)立l與圓O的方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)△=0，得k與m的關(guān)系式，再聯(lián)立l與橢圓C的關(guān)系式，消去y，得到另一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式及前面所得k與m的關(guān)系，寫出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，用b表示弦長(zhǎng)的最大值；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，易得弦長(zhǎng)的表達(dá)式，于是可根據(jù)弦長(zhǎng)的最大值為2，得b的值，由（1）中所得a，b的關(guān)系，即可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：（1）不妨設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，
則直線AB的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
依題意，原點(diǎn)O到直線AB的距離d=

ab

b2+a2

=

2 5

5

b，
化簡(jiǎn)，得a²=4b²，
結(jié)合b²=a²-c²，得

c

a

=

3

2

，即離心率e=

3

2

．
（2）設(shè)直線l與橢圓C交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
（i）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+m，
聯(lián)立x²+y²=b²，消去y，整理，得（1+k²）x²+2kmx+m²-b²=0．
由于直線l與圓O相切，所以△₁=（2km）²-4（1+k²）（m²-b²）=0，
得m²-b²=k²b²．
由

y=kx+m x2 4b2 + y2 b2 =1

，消去y，整理，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4b²=0，
由韋達(dá)定理，得

x1+x2=- 8km 1+4k2 x1x2= 4m2-4b2 1+4k2

，
且△₂=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4b²）＞0，
從而|PQ|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

k2+1

•

( -8km 1+4k2 )2-4× 4m2-4b2 1+4k2

=

k2+1

•

64k2b2-16(m2-b2) (1+4k2)2

，
 結(jié)合m²-b²=k²b²，整理，得|PQ|=

3

b

64k4+16k2 (1+4k2)2

=

3

b

- 3 (1+4k2)2 + 2 1+4k2 +1

．
又設(shè)

1

1+4k2

=t，易知，k≠0，∴0＜t＜1，則|PQ|=

3

b

-(t- 1 3 )2+ 4 3

，
當(dāng)t=

1

3

即k2=

1

2

時(shí)，得|PQ|_max=

3

b

4 3

=2b，
（ii）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)l的方程為x=b，易知P（b，

b

2

），Q（b，

b

2

），
此時(shí)|PQ|=b＜2b，|PQ|不是最大，
綜合（i）、（ii）知，|PQ|_max=2b=2，∴b²=1，得a²=4b²=4，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，圓與橢圓的相交弦問題等．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，除了條件“b²=a²-c^2”外，還需尋找關(guān)于a，b，c的另外兩個(gè)獨(dú)立的關(guān)系式．