如圖1，直角梯形中，，，，點(diǎn)為線段上異于的點(diǎn)，且，沿將面折起，使平面平面，如圖2.
（1）求證：平面；
（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）.

解析試題分析：本題考查立體幾何中的線面、面面關(guān)系，空間角，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力、空間想象能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想．第一問(wèn)，法一，由，利用線面平行的判定得面，再利用面面平行的判定得面面，最后利用面面平行的性質(zhì)得面；法二，建立空間直角坐標(biāo)系，要證明線面平行，只需證AB與面DFC的法向量垂直即可；第二問(wèn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用三棱錐的體積公式計(jì)算體積，當(dāng)體積最大值時(shí)，AE=1，再利用向量法求平面ABC和平面AEFD的法向量，利用夾角公式求二面角的余弦值.
試題解析：（1）證明：∵，面，面，
∴面，　　　　　　　　　　                   2分
同理面，                                    3分
又，∴面面，                4分
又面，∴面.                      5分
（2）法一：∵面面，又，面面，
∴面.
以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立
空間直角坐標(biāo)系，            　              7分
設(shè)，則，
，
∴當(dāng)時(shí)，三棱錐體積最大.                9分
∵， ∴，         10分
設(shè)平面的法向量， ，　∴，
令，得平面

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知三角形△ABC與△BCD所在平面相互垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，點(diǎn)P，Q分別在線段BD，CD上，沿直線PQ將△PQD向上翻折，使D與A重合．
（Ⅰ）求證：AB⊥CQ；
（Ⅱ）求BP的長(zhǎng)；
（Ⅲ）求直線AP與平面ABC所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示，矩形中，平面，，為上的點(diǎn)，
且平面
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）求三棱錐的體積。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知一四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，且側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)
（1）求四棱錐P－ABCD的體積；
（2）證明：BD⊥AE。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐的底面為菱形，面，且，,分別是的中點(diǎn).
(1)求證：∥平面；
(2)過(guò)作一平面交棱于點(diǎn)，若二面角的大小為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖,已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為8，側(cè)棱長(zhǎng)為6，D為AC中點(diǎn)。

（1）求證：直線AB1∥平面C1DB；
（2）求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中,，底面為梯形，，，且.（10分）

（1）求證：;
（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，，面，設(shè)為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且．
（1）求證：平面；
（2）設(shè)二面角的大小為，若，求的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

理）如圖，正四面體的頂點(diǎn)，，分別在兩兩垂直的三條射線，，上，則在下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)______.

（1）是正三棱錐 ；
（2）直線∥平面；
（3）直線與所成的角是；
（4）二面角為 .   

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