【題目】已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)任意的,恒成立,證明.
參考數(shù)據(jù):.
【答案】(1) ;在遞減,在遞增.(2)見證明
【解析】
(1)根據(jù)條件可得,解出m代入f'(x)中,然后判斷寫出單調(diào)區(qū)間即可;
(2)將問題轉(zhuǎn)化為g(x)=xlnx+1﹣ax﹣b≥0恒成立,求出g(x)的最小值,然后由g(x)min≥0,可得ab≤a﹣aea﹣1,然后構(gòu)造函數(shù)h(x)=x﹣xex﹣1(x>0),求出h(x)的最大值即可證明ab.
解:(1)∵f(x)=(x+m)lnx+1,∴f'(x)(x>0),
∵f(x)在x處取得極值,∴, ∴m=0,
∴f(x)=xlnx+1,∴f'(x)=lnx+1,
∵當(dāng)0<x時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x時(shí),f'(x)>0,
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,),單調(diào)增區(qū)間為(,)
(2),即.
記,則,由,得.
所以.
由,得,于是,其中.
記,則,,
顯然時(shí),,即在時(shí)單調(diào)遞減,因?yàn)?/span>,,
所以存在,使,即.且在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,
所以,,
令,上述函數(shù)變形為,,在單調(diào)遞增,
所以,即,故也即成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線,一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構(gòu)造得到.任畫一條線段,然后把它均分成三等分,以中間一段為邊向外作正三角形,并把“中間一段”去掉,這樣,原來的條線段就變成了4條小線段構(gòu)成的折線,稱為“一次構(gòu)造”;用同樣的方法把每一條小線段重復(fù)上述步驟,得到了16條更小的線段構(gòu)成的折線,稱為“二次構(gòu)造”,…,如此進(jìn)行“次構(gòu)造”,就可以得到一條科曲線.若要科赫曲線的長度達(dá)到原來的100倍,至少需要通過構(gòu)造的次數(shù)是( ).(取)
A.15B.16C.17D.18
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),時(shí),若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{}的首項(xiàng)a1=2,前n項(xiàng)和為,且數(shù)列{}是以為公差的等差數(shù)列·
(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),,數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為,
①求證:數(shù)列{}為等比數(shù)列,
②若存在整數(shù)m,n(m>n>1),使得,其中為常數(shù),且-2,求的所有可能值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(k+)lnx+,k∈[4,+∞),曲線y=f(x)上總存在兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),使曲線y=f(x)在M,N兩點(diǎn)處的切線互相平行,則x1+x2的取值范圍為
A. (,+∞) B. (,+∞) C. [,+∞) D. [,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
(1)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意均有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)直線與曲線和曲線相切,切點(diǎn)分別為,,其中.
①求證:;
②當(dāng)時(shí),關(guān)于的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解甲、乙兩個(gè)快遞公司的工作狀況,假設(shè)同一個(gè)公司快遞員的工作狀況基本相同,現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機(jī)抽取一名快遞員,并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù),制表如圖:
每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費(fèi)情況如下:甲公司規(guī)定每件4.5元;乙公司規(guī)定每天35件以內(nèi)(含35件)的部分每件4元,超出35件的部分每件7元.
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工A在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù);
(2)為了解乙公司員工B的每天所得勞務(wù)費(fèi)的情況,從這10天中隨機(jī)抽取1天,他所得的勞務(wù)費(fèi)記為X(單位:元),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)根據(jù)表中數(shù)據(jù)估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為了了解該市教師年齡分布情況,對(duì)年齡在內(nèi)的5000名教師進(jìn)行了抽樣統(tǒng)計(jì),根據(jù)分層抽樣的結(jié)果,統(tǒng)計(jì)員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表格:
年齡區(qū)間 | ||||
教師人數(shù) | 2000 | 1300 | ||
樣本人數(shù) | 130 |
由于不小心,表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)被污染,看不清了,統(tǒng)計(jì)員只記得年齡在的樣本人數(shù)比年齡在的樣本人數(shù)多10,根據(jù)以上信息回答下列問題:
(1)求該市年齡在的教師人數(shù);
(2)試根據(jù)上表做出該市教師按照年齡的人數(shù)頻率分布直方圖,并求該市教師年齡的平均數(shù)及方差(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
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