Question

【題目】已知函數(shù)在處取得極值．

（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)任意的，恒成立，證明.

參考數(shù)據(jù)：.

Answer 1

【答案】(1) ；在遞減，在遞增.(2)見證明

【解析】

（1）根據(jù)條件可得，解出m代入f'（x）中，然后判斷寫出單調(diào)區(qū)間即可；

（2）將問題轉(zhuǎn)化為g（x）＝xlnx+1﹣ax﹣b≥0恒成立，求出g（x）的最小值，然后由g（x）min≥0，可得ab≤a﹣aea﹣1，然后構(gòu)造函數(shù)h（x）＝x﹣xex﹣1（x＞0），求出h（x）的最大值即可證明ab．

解：（1）∵f（x）＝（x+m）lnx+1，∴f'（x）（x＞0），

∵f（x）在x處取得極值，∴， ∴m＝0，

∴f（x）＝xlnx+1，∴f'（x）＝lnx+1，

∵當(dāng)0＜x時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x時(shí)，f'（x）＞0，

∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，），單調(diào)增區(qū)間為（，）

（2），即.

記，則，由，得.

所以.

由，得，于是，其中.

記，則，，

顯然時(shí)，，即在時(shí)單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，，

所以存在，使，即.且在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以，，

令，上述函數(shù)變形為，，在單調(diào)遞增，

所以，即，故也即成立.