Question

若關于實數(shù)x的不等式|x+1|+|x-2|＞a²-2a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-1，3）
• B、[-1，3]
• C、（-∞，-1）∪（3，+∞）
• D、（-∞，-1]∪[3，+∞）

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：首先分析題目已知不等式|x+1|+|x-2|＞a²-2a恒成立，求a²-2a的取值范圍，即需要a²-2a小于|x+1|+|x-2|的最小值即可．對于求|x+1|+|x-2|的最小值，可以分析它幾何意義：在數(shù)軸上點x到點-1的距離加上點x到點2的距離．分析得當x在-1和2之間的時候，取最小值，即可得到答案．

解答： 解：已知不等式|x+1|+|x-2|＞a²-2a恒成立，即需要a²-2a小于|x+1|+|x-2|的最小值即可．
故設函數(shù)y=|x+1|+|x-2|． 設-1、2、x在數(shù)軸上所對應的點分別是A、B、P．
則函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的含義是P到A的距離與P到B的距離的和．
可以分析到當P在A和B的中間的時候，距離和為線段AB的長度，此時最�。�
即：y=|x+1|+|x-2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x-2|的最小值為3．
即：a²-2a＜3
解得-1＜a＜3．
故選：A．

點評：此題主要考查不等式恒成立的問題，其中涉及到絕對值不等式求最值的問題，對于y=|x-a|+|x-b|類型的函數(shù)可以用分析幾何意義的方法求最值．