Question

（本小題滿分12分）東北大學(xué)軟件園新開發(fā)一款學(xué)習(xí)軟件，該軟件把學(xué)科知識(shí)設(shè)計(jì)為由易到難共12關(guān)的闖關(guān)游戲．為了激發(fā)闖關(guān)熱情，每闖過一關(guān)都獎(jiǎng)勵(lì)若干慧幣（一種網(wǎng)絡(luò)虛擬幣）．該軟件提供了三種獎(jiǎng)勵(lì)方案：第一種，每闖過一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)40慧幣；第二種，闖過第一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)4慧幣，以后每一關(guān)比前一關(guān)多獎(jiǎng)勵(lì)4慧幣；第三種，闖過第一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)0．5慧幣，以后每一關(guān)比前一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)翻一翻（即增加1倍），游戲規(guī)定：闖關(guān)者須在闖關(guān)前任選一種獎(jiǎng)勵(lì)方案．

（Ⅰ）設(shè)闖過n關(guān)后三種獎(jiǎng)勵(lì)方案獲得的貨幣依次為試分別求出的表達(dá)式；

（Ⅱ）如果你是一名闖關(guān)者，為了得到更多的慧幣，你應(yīng)該如何選擇獎(jiǎng)勵(lì)方案．

 

Answer 1

（Ⅰ），，；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)選擇第一種方案，當(dāng)時(shí)選擇第三種方案．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）據(jù)題意，第一種獎(jiǎng)勵(lì)方案構(gòu)成首項(xiàng)為40常數(shù)列；第二種獎(jiǎng)勵(lì)方案構(gòu)成首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列；第三種獎(jiǎng)勵(lì)方案構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；正確應(yīng)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式不難得出所求；（Ⅱ）首先令，得出三種獎(jiǎng)勵(lì)方案的最高獎(jiǎng)?lì)~，然后根據(jù)所得大小關(guān)系列出不等式并解出相關(guān)的取值范圍，得出具體選擇方案．

試題解析：（Ⅰ）據(jù)題意，第一種獎(jiǎng)勵(lì)方案是首項(xiàng)為40的常數(shù)列，所以；

第二種獎(jiǎng)勵(lì)方案構(gòu)成首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列,所以由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得：

；

第三種獎(jiǎng)勵(lì)方案構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式得：

；

（Ⅱ）令則，，，

由，

，

所以在12關(guān)內(nèi)，第二種方案沒有選擇的價(jià)值，能過10關(guān)及以上選第三種方案，否則選第一種方案，

即當(dāng)時(shí)選擇第一種方案，當(dāng)時(shí)選擇第三種方案．

考點(diǎn)：①等差、等比數(shù)列的定義和前和公式；②數(shù)列知識(shí)在解決實(shí)際問題中的運(yùn)用；③不等式在方案決策中的應(yīng)用．