Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，若

AF

=4

BF

，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  6

  5

• B、

  10

  3

• C、

  6

  5

• D、以上均不對(duì)

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)（x₂，y₂），利用e=

| BF |

d

得出關(guān)于e的方程，驗(yàn)證答案是否正確即可．

解答： 解：根據(jù)題意，A在雙曲線的右支上，B在左支上，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），左焦點(diǎn)F（-c，0），如圖所示
∵

AF

=4

BF

，
∴x₁-（-c）=4[x₂-（-c）]，
∴x₁=4x₂+3c①；
又∵直線過焦點(diǎn)F，傾斜角為60°，
∴y=

3

（x+c），
直線方程與雙曲線方程

x2

a2

-

y2

b2

=1聯(lián)立，消去y得；
b²x²-3a²（x+c）²=a²b²，
即（b²-3a²）x²-6a²cx-（3a²c²+a²b²）=0，
∴x₁+x₂=

6a2c

b2-3a2

②；
由①②得，
x₂=

6a2c

5(b2-3a2)

-

3c

5

，y₂=

3

（

6a2c

5(b2-3a2)

+

2c

5

）；
∴e=

| BF |

d

=

(x2+c)2+y22

|x2- a2 c |

=

2( 6a2c 5(b2-3a2) + 2c 5 )

| 6a2c 5(b2-3a2) - 3c 5 - a2 c |

=

4(c2-a2)c2

-20a4-13a2c2+3c4

=

4(e2-1)e2

3e4-13e2-20

，
即3e⁴-4e³-13e²+4e-20=0，
驗(yàn)證e=

6

5

和e=

10

3

都不是該方程的解．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求曲線的離心率的問題，也考查了直線與雙曲線交點(diǎn)的問題，考查了計(jì)算能力，是難題．