Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是橢圓上不同的三點(diǎn)，，，在第三象限，線段的中點(diǎn)在直線上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上（異于點(diǎn)，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點(diǎn)，證明為定值并求出該定值．

 

Answer 1

(1)；(2)；(3)．

【解析】

試題分析：(1)已知橢圓過(guò)兩點(diǎn)，可把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入方程列出關(guān)于的方程組，然后把分別作為整體，方程組就變?yōu)槎�元一次方程組，從而可很快解得；(2)關(guān)鍵是線段的中點(diǎn)在直線上，可設(shè)，由線段中點(diǎn)為，而直線的方程可求得，代入可得的一個(gè)方程，點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程又得另一方程，聯(lián)立可解得點(diǎn)坐標(biāo)；(3)這類問題我們采取設(shè)而不求的方法，設(shè)，在直線上，則，同理，

，下面我們想辦法把用表示出來(lái)，這可由共線，共線得到，這里要考查同學(xué)計(jì)算能力，只要計(jì)算正確，就能得出正確結(jié)論．

試題解析：（1）由已知，得解得 2分

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 3分

（2）設(shè)點(diǎn)，則中點(diǎn)為．

由已知，求得直線的方程為，從而．①

又∵點(diǎn)在橢圓上，∴．②

由①②，解得（舍），，從而． 5分

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為． 6分

（3）設(shè)，，．

∵三點(diǎn)共線，∴，整理，得． 8分

∵三點(diǎn)共線，∴，整理，得． 10分

∵點(diǎn)在橢圓上，∴，．

從而． 14分

所以． 15分

∴為定值，定值為． 16分

考點(diǎn)：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)中點(diǎn)問題；(3)定值問題．