Question

已知二項(xiàng)式的展開式中第2項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，其中，且展開式按的降冪排列．

（1）求及的值．

（2）數(shù)列中，，，，求證： 能被4整除．

 

Answer 1

（1），；（2）)證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）由展開式中第2項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則可根據(jù)二項(xiàng)式展開式的第2項(xiàng)展開式中未知數(shù)的指數(shù)為0，從而求出的值，將的值代回第2項(xiàng)展式可求出的值；（2）可利用數(shù)學(xué)歸納法來證明，①當(dāng)時(shí)，，，能被4整除，顯然命題成立；②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)， 能被4整除，即．那么當(dāng)n =k+1時(shí)，

==

=顯然是非負(fù)整數(shù)，

能被4整除．

由①、②可知，命題對(duì)一切都成立．

試題解析：（1） ， 2分

故，，． 4分

（2）證明：①當(dāng)時(shí)，，，能被4整除．

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)， 能被4整除，即，其中p是非負(fù)整數(shù)．

那么當(dāng)n =k+1時(shí)，

==

=顯然是非負(fù)整數(shù)，

能被4整除．

由①、②可知，命題對(duì)一切都成立． 10分

考點(diǎn)：1.二項(xiàng)式定理；2.數(shù)學(xué)歸納法.