Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l：$\sqrt{2}ρsin（θ\right.$$+\frac{π}{4}）=t$=t經(jīng)過點(diǎn)$P（{4\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$，曲線C：ρ²（1+3sin²θ）=4．
（Ⅰ）求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)Q為曲線C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q到直線l的距離表示為d，求d的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線l的極坐標(biāo)方程，得t=8，整理可得直線l的直角坐標(biāo)方程；由ρ²（1+3sin²θ）=4，得ρ²+3（ρsinθ）²=4，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）設(shè)Q（2cosθ，sinθ），則點(diǎn)Q到直線l的距離d=$\frac{{|{\sqrt{5}sin（{θ+φ}）-8}|}}{{\sqrt{2}}}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線l的極坐標(biāo)方程，得t=8，整理可得直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-8=0；
由ρ²（1+3sin²θ）=4，得ρ²+3（ρsinθ）²=4，即x²+y²+3y²=4，C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）設(shè)Q（2cosθ，sinθ），則點(diǎn)Q到直線l的距離$d=\frac{{|{2cosθ+sinθ-8}|}}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{|{\sqrt{5}sin（{θ+φ}）-8}|}}{{\sqrt{2}}}$，
當(dāng)sin（θ+φ）=1時(shí)，${d_{min}}=\frac{{8-\sqrt{5}}}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{8\sqrt{2}-\sqrt{10}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．