Question

2．“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”是李克強(qiáng)總理在本屆政府工作報(bào)告中向全國人民發(fā)出的口號．某生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)號召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，為了對新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)（x_i，y_i）（i=1，2，…，6），如表所示：

試銷單價(jià)x（元）	4	5	6	7	8	9
產(chǎn)品銷量y（件）	q	84	83	80	75	68

已知$\overline y=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6{y_i}$=80．
（Ⅰ）求出q的值；
（Ⅱ）已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量y（件）關(guān)于試銷單價(jià)x（元）的線性回歸方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（Ⅲ）用$\widehat{y_i}$表示用（Ⅱ）中所求的線性回歸方程得到的與x_i對應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計(jì)值．當(dāng)銷售數(shù)據(jù)（x_i，y_i）對應(yīng)的殘差的絕對值$|\widehat{y_i}-{y_i}|≤1$時(shí)，則將銷售數(shù)據(jù)（x_i，y_i）稱為一個(gè)“好數(shù)據(jù)”．現(xiàn)從6個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任取3個(gè)，求“好數(shù)據(jù)”個(gè)數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．
（參考公式：線性回歸方程中$\widehatb$，$\widehata$的最小二乘估計(jì)分別為$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用$\overline y=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6{y_i}=80$，可求得q．
（Ⅱ）利用公式求解回歸直線方程中的幾何量，即可得到回歸直線方程．
（Ⅲ）求出ξ的所有可能取值為0，1，2，3．求出概率，得到ξ的分布列然后求解期望即可．

解答 解：（Ⅰ）$\overline y=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6{y_i}=80$，可求得q=90．
（Ⅱ）$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^6{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^6{x_i^2-n{{（\overline x）}^2}}}}=\frac{3050-6×6.5×80}{271-253.5}=-\frac{70}{17.5}=-4$，
$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x=80+4×6.5=106$，
所以所求的線性回歸方程為$\widehaty=-4x+106$．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求的線性回歸方程$\widehaty=-4x+106$
可得，當(dāng)x₁=4時(shí)，$\widehat{y_1}=90$；當(dāng)x₂=5時(shí)，$\widehat{y_2}=86$；
當(dāng)x₃=6時(shí)，$\widehat{y_3}=82$；當(dāng)x₄=7時(shí)，$\widehat{y_4}=78$；當(dāng)x₅=8時(shí)，$\widehat{y_5}=74$；當(dāng)x₆=9時(shí)，$\widehat{y_6}=70$．
與銷售數(shù)據(jù)對比可知滿足$|\widehat{y_i}-{y_i}|≤1$（i=1，2，…，6）的共有3個(gè)“好數(shù)據(jù)”：（4，90）、（6，83）、（8，75）．
于是ξ的所有可能取值為0，1，2，3.$P（ξ=0）=\frac{C_3^3}{C_6^3}=\frac{1}{20}$；$P（ξ=1）=\frac{C_3^1C_3^2}{C_6^3}=\frac{9}{20}$；
$P（ξ=2）=\frac{C_3^2C_3^1}{C_6^3}=\frac{9}{20}$；$P（ξ=3）=\frac{C_3^3}{C_6^3}=\frac{1}{20}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{1}{20}$

于是$E（ξ）=0×\frac{1}{20}+1×\frac{9}{20}+2×\frac{9}{20}+3×\frac{1}{20}=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，回歸直線方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．