Question

7．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=A₁B=A₁C=$\sqrt{6}$．
（1）證明：平面ABC⊥平面A₁BC；
（2）在線段BB₁上是否存在點E，使得二面角E-A₁C-B的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$？若存在確定點E的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設BC的中點為O，推導出AO⊥BC，A₁O⊥AO，從而A₁O⊥面ABC，由此能證明平面A₁BC⊥平面ABC．
（Ⅱ）以OA，OB，OA₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出在線段BB₁上存在點E，使得二面角E-A₁C-B的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$，且點E與點B₁重合．

解答 證明：（Ⅰ）設BC的中點為O，
∵A₁B=A₁C=$\sqrt{6}$，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴A₁O⊥BC，且A₁O=2，
又∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴AO⊥BC，且AO=$\sqrt{2}$，
∴AO²+A₁O²=2+4=$A{{A}_{1}}^{2}$，
∴A₁O⊥AO，∴A₁O⊥面ABC，
又A₁O?平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面ABC．
解：（Ⅱ）如圖，以OA，OB，OA₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則A（$\sqrt{2}，0，0$），B（0，$\sqrt{2}$，0），C（0，-$\sqrt{2}$，0），A₁（0，0，2），
平面A₁BC的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{B{B}_{1}}$=$λ\overrightarrow{A{A}_{1}}$，（0≤λ≤1），
則$\overrightarrow{BE}$=（-$\sqrt{2}λ$，0，2λ），點E的坐標為（-$\sqrt{2}λ$，$\sqrt{2}$，2λ），
設平面EA₁C的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{CE}$，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}y+2z=0}\\{-\sqrt{2}λx+2\sqrt{2}y+2λz=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{2\sqrt{2}}{λ}+\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，1），
∵|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，∴$\frac{\sqrt{10}}{5}=\frac{|\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{λ}|}{\sqrt{（\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{λ}）^{2}+2+1}}$，
解得λ=1，
∴在線段BB₁上存在點E，使得二面角E-A₁C-B的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$，且點E與點B₁重合．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．