Question

（本小題滿分13分）已知數(shù)列， 滿足條件：， ．

（Ⅰ）求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求使得對(duì)任意都成立的正整數(shù)的最小值．

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）5

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由數(shù)列滿足，通過(guò)構(gòu)造即可得到數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)，由此得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（Ⅱ）由數(shù)列滿足.由裂項(xiàng)求和法即可得到數(shù)列的前項(xiàng)和.又由對(duì)任意都成立，所以要求出的最小值，通過(guò)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的研究即可得數(shù)列是一個(gè)遞增的數(shù)列，由此可得的最小值為.再根據(jù)即可求出結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）∵

∴，∵， 2分

∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列 ．

∴∴ 5分

（Ⅱ）∵， 7分

∴

． 9分

∵，又，

∴N*，即數(shù)列是遞增數(shù)列．

∴當(dāng)時(shí)，取得最小值． 11分

要使得對(duì)任意N*都成立，結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)果，只需，由此得．∴正整數(shù)的最小值是5． 13分

考點(diǎn)：1.等比數(shù)列的性質(zhì).2.裂項(xiàng)法求和.3.數(shù)列與不等式的關(guān)系.