Question

12．已知$\overrightarrow{m}$=（2cosA，1），$\overrightarrow{n}$=（1，（sin（A+$\frac{π}{6}$）），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，a=2$\sqrt{3}$，c=4
（Ⅰ）求A值；
（Ⅱ）求b和△ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)所給的向量的坐標(biāo)和向量平行的條件，寫出向量平行的充要條件，得到關(guān)于角A的三角函數(shù)關(guān)系，本題要求角A的大小，利用整理出來的三角函數(shù)值和角是三角形的內(nèi)角，得到結(jié)果．
（II）本題是一個解三角形問題，應(yīng)用上一問給出的結(jié)果，根據(jù)正弦定理把邊之間的關(guān)系變化為角之間的關(guān)系，利用三角形內(nèi)角和定理及三角形面積公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$=（2cosA，1），$\overrightarrow{n}$=（1，（sin（A+$\frac{π}{6}$）），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴1-2cosAsin（A+$\frac{π}{6}$）=0，可得：$\sqrt{3}$sinAcosA+cos²A=1，
∴可得：sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵a＜c，A∈（0，$\frac{π}{2}$），2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得：A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵A=$\frac{π}{3}$，a=2$\sqrt{3}$，c=4，
∴由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}$=1，
又∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{2}$，B=π-A-C=$\frac{π}{6}$，
∴b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了向量平行的運算，正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式的綜合應(yīng)用，條件中給出兩個向量的坐標(biāo)，代入共線的充要條件的公式運算即可，屬于中檔題．