Question

已知雙曲線C₁的漸近線方程是y=±x，且它的一條準(zhǔn)線與漸近線y=x及x軸圍成的三角形的周長(zhǎng)是．以C₁的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，以C₁的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C₂．
（1）求C₂的方程；
（2）已知斜率為的直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（m，0）（m＞0）并與橢圓C₂交于不同的兩點(diǎn)A、B，若對(duì)于橢圓C₂上任意一點(diǎn)M，都存在θ∈[0，2π]，使得成立．求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知雙曲線C₁的焦點(diǎn)在x軸上，先假設(shè)方程，結(jié)合漸近線y=x及x軸圍成的三角形的周長(zhǎng)是，則可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）聯(lián)立方程組，由于交于不同的兩點(diǎn)，所以△＞0．
由，可得代入橢圓方程，可求實(shí)數(shù)m的值．
解答：解：（1）由題意知雙曲線C₁的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)C₁的方程為：

解得之：，
∴雙曲線的半焦距c=2，橢圓C₂方程為：…（4分）
（2）設(shè)點(diǎn)M（x，y）及點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為：x-2y-m=0，
聯(lián)立方程組…（6分）
判斷式△=16m²-32（m²-4）=16（8-m²）＞0


=4y₁y₂+2m（y₁+y₂）+m²
=…（7分）
由，可得…（8分）
代入橢圓方程得4=x²+4y²=（x₁cosθ+x₂sinθ）²+4（y₁cosθ+y₂sinθ）²
=（x₁²+4y₁²）cos²θ+（x₂²+4y₂²）sin²θ+2sinθcosθ（x₁x₂+4y₁y₂）
=4（cos²θ+sin²θ）+sin2θ•（x₁x₂+4y₁y₂）
即得：sin2θ•（x₁x₂+4y₁y₂）=0…（10分）
又∵θ∈[0，2π]的任意性，知：

∵
∴m=2，即滿足條件的實(shí)數(shù)m的值為2   …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．