已知雙曲線C1的漸近線為y=±x且過點(diǎn)(,)，直線l的方程為x-y+3=0，以雙曲線C1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓C2，C2與l有公共點(diǎn)，問公共點(diǎn)在何處時(shí)，C2的短軸長最短?并求出此時(shí)的橢圓方程.

解：設(shè)雙曲線C1的方程為x2-=λ，將點(diǎn)(,)代入得λ=,

C1:4x2-y2=1，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0).

    設(shè)橢圓C2的方程為+=1，其中b＞0，將l的方程代入并整理得(2b2+1)x2+6(b2+1)x+(9-b2)(b2+1)=0.

∵l與C2有公共點(diǎn)，∴Δ≥0，解得b2≥4,b≥2,2b≥4，即短軸長最短為4.

    當(dāng)b=2時(shí)，上述方程為9x2+30x+25=0,這時(shí)x=-,y=x+3=,

    即當(dāng)l與C2的公共點(diǎn)為(-,)時(shí)，C2的短軸長最短為4，橢圓的方程+=1.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•重慶模擬）已知雙曲線C1的漸近線方程是y=±x，且它的一條準(zhǔn)線與漸近線y=x及x軸圍成的三角形的周長是
2
+1．
（I）求以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，以C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓C2的方程；
（II）AB是橢圓C2的長為
2
的動(dòng)弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C1的漸近線方程是y=±
3
3
x，且它的一條準(zhǔn)線與漸近線y=
3
3
x及x軸圍成的三角形的周長是
3
2
(1+
3
)．以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，以C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C2．
（1）求C2的方程；
（2）已知斜率為
1
2
的直線l經(jīng)過定點(diǎn)P（m，0）（m＞0）并與橢圓C2交于不同的兩點(diǎn)A、B，若對(duì)于橢圓C2上任意一點(diǎn)M，都存在θ∈[0，2π]，使得
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
成立．求實(shí)數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：吉安二模 題型：解答題

已知雙曲線C1的漸近線方程是y=±
3
3
x，且它的一條準(zhǔn)線與漸近線y=
3
3
x及x軸圍成的三角形的周長是
3
2
(1+
3
)．以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，以C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C2．
（1）求C2的方程；
（2）已知斜率為
1
2
的直線l經(jīng)過定點(diǎn)P（m，0）（m＞0）并與橢圓C2交于不同的兩點(diǎn)A、B，若對(duì)于橢圓C2上任意一點(diǎn)M，都存在θ∈[0，2π]，使得
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
成立．求實(shí)數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年江西省吉安市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知雙曲線C1的漸近線方程是y=±x，且它的一條準(zhǔn)線與漸近線y=x及x軸圍成的三角形的周長是．以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，以C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C2．
（1）求C2的方程；
（2）已知斜率為的直線l經(jīng)過定點(diǎn)P（m，0）（m＞0）并與橢圓C2交于不同的兩點(diǎn)A、B，若對(duì)于橢圓C2上任意一點(diǎn)M，都存在θ∈[0，2π]，使得成立．求實(shí)數(shù)m的值．

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