Question

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知2a₂=a₁+a₃，數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式（用n，d表示）；
（2）設(shè)c為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式S_m+S_n＞cS_k都成立．求證：c的最大值為．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知，列出關(guān)于a₁、d的方程，求出a₁，進(jìn)而推出s_n，再利用a_n與s_n的關(guān)系求出a_n．
（2）利用（1）的結(jié)論，對(duì)S_m+S_n＞cS_k進(jìn)行化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為基本不等式問(wèn)題求解；或求出c的最大值的范圍，利用夾逼法求出a的值．
解答：解：（1）由題意知：d＞0，=+（n-1）d=+（n-1）d，
∵2a₂=a₁+a₃，
∴3a₂=S₃，即3（S₂-S₁）=S₃，
∴，
化簡(jiǎn)，得：，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²d²-（n-1）²d²=（2n-1）d²，適合n=1情形．
故所求a_n=（2n-1）d²
（2）（方法一）S_m+S_n＞cS_k⇒m²d²+n²d²＞c•k²d²⇒m²+n²＞c•k²，恒成立．
又m+n=3k且m≠n，，
故，即c的最大值為．
（方法二）由及，得d＞0，S_n=n²d²．
于是，對(duì)滿足題設(shè)的m，n，k，m≠n，有．
所以c的最大值．
另一方面，任取實(shí)數(shù)．設(shè)k為偶數(shù)，令，則m，n，k符合條件，且．
于是，只要9k²+4＜2ak²，即當(dāng)時(shí)，．
所以滿足條件的，從而．
因此c的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及基本不等式等有關(guān)知識(shí)，考查探索、分析及論證的能力．