Question

1．圓心在曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上，與直線2x+y+1=0相切且面積最小的圓的方程為（　　）

• A． （x-1）²+（y-2）²=5
• B． （x-1）²+（y-1）²=5
• C． （x-1）²+（y-2）²=25
• D． （x-1）²+（y-1）²=25

Answer 1

分析 設(shè)出圓心坐標(biāo)，求出圓心到直線的距離的表達(dá)式，求出表達(dá)式的最小值，即可得到圓的半徑長(zhǎng)，得到圓的方程，推出選項(xiàng)．

解答 解：設(shè)圓心為（a，$\frac{2}{a}$）（a＞0），
則r=$\frac{|2a+\frac{2}{a}+1|}{\sqrt{5}}$≥$\frac{|2\sqrt{2a•\frac{2}{a}}+1|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)等號(hào)成立．
當(dāng)r最小時(shí)，圓的面積S=πr²最小，
此時(shí)圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=5；
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題是基礎(chǔ)題，考查圓的方程的求法，點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．