Question

已知對于任意的實(shí)數(shù)a，b都有（a+b）²≤2（a²+b²）恒成立，則函數(shù)f（x）=|sinx|+|cosx|的值域是

 

．

Answer 1

分析：由題意得f（x）＞0，利用條件求出f²（x）的范圍，即可得到f（x）的范圍．

解答：解：∵對于任意的實(shí)數(shù)a，b都有（a+b）²≤2（a²+b²）恒成立，函數(shù)f（x）=|sinx|+|cosx|＞0，
∴f²（x）=（|sinx|+|cosx|）²≤2[（|sinx|）²+（|cosx|）²]=2，
又∵f²（x）=（|sinx|+|cosx|）²=（|sinx|）²+（|cosx|）²+2|sinx|•|cosx|≥（|sinx|）²+（|cosx|）²=1，
∴1≤f²（x）≤2，∴1≤f（x）≤

2

，∴函數(shù)f（x）=|sinx|+|cosx|的值域是[1，

2

]．
故答案為：[1，

2

]．

點(diǎn)評：本題考查求三角函數(shù)的最值的方法，根據(jù)f（x）＞0，利用條件求出f²（x）的范圍，即可得到f（x）的范圍，
體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．