Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，A₁B⊥C₁C，AC=BC．
（1）求證A₁A⊥A₁C；
（2）若A₁A=A₁C=2，求三棱錐B₁-A₁BC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：先證明A₁A⊥平面A₁BC，再證明A₁A⊥A₁C；確定底面積與高，從而求出體積．

解答： 解：（Ⅰ）∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴A₁A⊥BC．
∵A₁B⊥C₁C，A₁A∥C₁C，
∴A₁A⊥A₁B，又BC∩A₁B=B，
∴A₁A⊥平面A₁BC，又A₁C?平面A₁BC，
∴A₁A⊥A₁C．
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ），△A₁AC是等腰直角三角形，AA₁=A₁C=2，AC=2

2

．
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
∴Rt△A₁AC斜邊上的高等于斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高，且等于

2

．）
在Rt△ABC中，AC=BC=2

2

，S_△ABC=

1

2

AC•BC=4，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=S_△ABC•

2

=4

2

．
又三棱錐A₁-ABC與三棱錐C-A₁B₁C₁的體積相等，都等于

1

3

V，
∴三棱錐B₁-A₁BC的體積V₁=V-2×

1

3

V=

4 2

3

．

點評：本題考查了空間幾何體的體積求法，同時考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．