Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+2sin（x+π）sin（x+

3π

2

）+3cos²x
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間：
（Ⅱ）若方程f（x）=a+2，x∈[-

π

4

，

π

4

]有兩解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦,二倍角的余弦,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）由x∈[-

π

4

，

π

4

]可得f（x）的值域，結(jié)合函數(shù)的圖象可得3≤a+2＜2+

2

由不等式可得結(jié)論．

解答： 解：（1）化簡可得f（x）=sin²x+2sin（x+π）sin（x+

3π

2

）+3cos²x
=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

可得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z，
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]（k∈Z）；
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）∈[1，2+

2

]，
∵關(guān)于x的方程f（x）=a+2，x∈[-

π

4

，

π

4

]有兩解，結(jié)合函數(shù)的圖象可知：
∴3≤a+2＜2+

2

，∴m∈[1，

2

）
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為：[1，

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，涉及和差角公式和三角函數(shù)的值域，屬中檔題．