Question

11．已知函數(shù)f（x）=xlnx-2x，g（x）=-ax²+ax-2，（a＞1）．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及最小值；
（II）證明：f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （I）首先對(duì)f（x）求導(dǎo)，令f'（x）＞0，即lnx-1＞0，得x＞e；令f'（x）＜0，即lnx-1＜0，得0＜x＜e；即可得到單調(diào)區(qū)間與最值；
（II）要證f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞）上恒成立，可令h（x）=f（x）-g（x），判斷h（x）的單調(diào)性即可．

解答 解：（I）由題意f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵f（x）=xlnx-2x，
∴f'（x）=lnx+1-2=lnx-1，
令f'（x）＞0，即lnx-1＞0，得x＞e；
令f'（x）＜0，即lnx-1＜0，得0＜x＜e；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，e）；
∴函數(shù)f（x）的最小值為f（e）=elne-2e=-e；
證明：（II）令h（x）=f（x）-g（x），
∵f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，
∴h（x）_min≥0，x∈[1，+∞）．
∵h(yuǎn)（x）=xlnx+ax²-ax-2x+2，
∴h'（x）=lnx+2ax-a-1，
令m（x）=lnx+2ax-a-1，x∈[1，+∞），則m'（x）=$\frac{1}{x}$+2a，
∵x＞1，a＞1∴m'（x）＞0
∴m（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴m（x）≥m（1）=a-1，即h'（x）≥a-1，
∵a＞1，∴a-1＞0，∴h'（x）＞0
∴h（x）=xlnx+ax²-2x+2在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（1）=0，即f（x）-g（x）≥0，
故f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值，以及構(gòu)造新函數(shù)證明恒成立問(wèn)題，屬中等題．