Question

2．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}}$），其圖象與直線y=-1相鄰兩個交點的距離為π，若f（x）＞1對?x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}}$）恒成立，則φ的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{π}{12}，\frac{π}{6}}]$
• B． $[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$
• C． $[{\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$
• D． $[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)的周期為$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=2．再根據(jù)當(dāng)x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}}$）時，sin（2x+φ）＞0恒成立，2kπ＜2•（-$\frac{π}{12}$）+φ＜2•$\frac{π}{3}$+φ＜2kπ+π，由此求得φ的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}}$），其圖象與直線y=-1相鄰兩個交點的距離為π，
故函數(shù)的周期為$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+φ）+1．
若f（x）＞1對?x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}}$）恒成立，即當(dāng)x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}}$）時，sin（2x+φ）＞0恒成立，
故有2kπ＜2•（-$\frac{π}{12}$）+φ＜2•$\frac{π}{3}$+φ＜2kπ+π，求得2kπ+$\frac{π}{6}$φ＜2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
結(jié)合所給的選項，
故選：D．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、值域，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．