Question

9．已知函數(shù)f（x）=1-$\frac{2}{lnx+1}$（x＞e，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）若f（m）=2ln$\sqrt{e}$-f（n），則f（mn）的取值范圍為（　�。�

• A． [$\frac{3}{4}$，1）
• B． [$\frac{5}{7}$，1）
• C． [$\frac{9}{10}$，1）
• D． [$\frac{5}{7}$，1]

Answer 1

分析 由f（m）=2ln$\sqrt{e}$-f（n）得 f（m）+f（n）=1⇒$\frac{2}{lnm+1}+\frac{2}{lnn+1}=1$，f（mn）=1-$\frac{2}{ln（mn）+1}$=1-$\frac{2}{lnn+lnm+1}$，又由lnn+lnm+2=[（lnn+1）+（lnm+1）]（$\frac{2}{lnn+1}+\frac{2}{lnm+1}$）得到lnn+lnm的范圍，再求f（mn）的取值范圍．

解答 解：由f（m）=2ln$\sqrt{e}$-f（n）得 f（m）+f（n）=1⇒$\frac{2}{lnm+1}+\frac{2}{lnn+1}=1$，f（mn）=1-$\frac{2}{ln（mn）+1}$=1-$\frac{2}{lnn+lnm+1}$，
又∵lnn+lnm+2=[（lnn+1）+（lnm+1）]（$\frac{2}{lnn+1}+\frac{2}{lnm+1}$）=4+$\frac{2（lnm+1）}{lnn+1}+\frac{2（lnn+1）}{lnm+1}$≥4+4=8，
∴l(xiāng)nn+lnm≥6，f（mn）=1-$\frac{2}{ln（mn）+1}$≥$\frac{5}{7}$，且m、n＞e，∴l(xiāng)nn+lnm＞0，f（mn）=1-$\frac{2}{lnn+lnm+1}$＜1，∴$\frac{5}{7}$≤f（mn）＜1，
故選：B．

點評 本題考查了基本不等式中，求最值的一種常見方法，對學生的思維強度要求高，屬于難題．